一 、 已知 a1, a2, ... , an 为实数，如果它们中任意两数之和非负，那么对于满足 x1+ x2+ ... +xn = 1 的任意非负实数 x1, x2, ... , xn，有不等式 a1x1+ a2x2+ ... +anxn ≥ a1x12+ a2x22+ ... +anxn2 成立。请证明上述命题及其逆命题。
二 、 在三角形ABC中，BC边上的高AD=12，∠A的平分线AE=13，设BC边上的中线AF=m，问m在甚么范围内取值时，∠A分别为锐角，直角、钝角？
三 、 设z1, z2, ... , zn为复数，满足| z1|+ | z2 |+ ... +| zn|=1。求证：上述n个复数中，必存在若干个复数，它们的和的模不小于1/6。
四 、 已知：四边形的P1P2P3P4的四个顶点位于三角形ABC的边上。求证：四个三角形 △P1P2P3 、△P1P2P4 、△P1P3P4 、△P2P3P4中，至少有一个的面积不大于ABC的面积的四分之一。
五 、 能否把 1, 1, 2, 2, ... , 1986, 1986 这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，....，两个1986之间夹着一千九百八十六个数。请证明你的结论。
六、 用任意的方式，给平面上的每一点染上黑色或白色。求证：一定存在一个边长为1或3的正三角形，它的三个顶点是同色的。 |
