一、（50分）如图，O、I 分别为ΔABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上。求证：ΔABC的外接圆半径等于BC边上的
旁切圆半径。
注：ΔAB 的BC边上的旁切圆是与边AB、AC的延长线以及边BC都相切的圆。

二、（50分）设 a₁，a₂， … ，a_n ；b₁，b₂， … ，b_n∈[ 1，2 ] 且 a₁² + a₂² + … + a_n² = b₁² + b₂² + … + b_n²。
设 X_i = a_i³/b_i 求证：X₁ + X₂ + … + X_n ≤ 17( a₁² + a₂² + … + a_n² )/10。并问：等号成立的充要条件。

三、对于正整数 a、n ，定义 F_n（a）= q + r ，其中 q、r 为非负整数，a = qn + r ，且 0≤ r < n 。求最大的正整数A，使得存在正整数 n_1 ，n_2 ，n_3 ， n_4 ，n_5 ，n_6 ，对于任意的正整数 a ≤A ，都有
F_{n_6}（F_{n_5}（F_{n_4}（F_{n_3}（F_{n_2}（F_{n_1}（a））））））= 1
证明你的结论。