1993年全国高中数学联赛第2试

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1993年全国高中数学联赛第二试

一．（35分）设一凸四边形ABCD，它的内角中仅有∠D是钝角，用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形，但除去A、B、C、D外，在该四边形的周界上，不含分割出的钝角三角形顶点．试证n应满足的充分必要条件是n≥4．

二．（35分）设A是一个有n个元素的集合，A的m个子集A₁，A₂，…，A_m两两互不包含．试证：
(1)

≤1； (2)

≥m²．
其中|A_i|表示A_i所含元素的个数，

表示n个不同元素取|A_i|个的组合数．

三．（35分）水平直线m通过圆O的中心，直线 l⊥m，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A，B，C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP，BQ，CR为圆O的三条切线，P，Q，R为切点．试证：
(1)l与圆O相切时，AB×CR+BC×AP＝AC×BQ；
(2)l与圆O相交时，AB×CR+BC×AP＜AC×BQ；
(3)l与圆O相离时，AB×CR+BC×AP＞AC×BQ．
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